🔟 Puissances de 10
Les alliées des grands et petits nombres
📖 Rappel de cours
Les puissances de 10 permettent d'écrire très simplement les très grands nombres (milliards, billions...) et les très petits nombres (millièmes, millionièmes...). L'exposant indique le nombre de zéros ou la position de la virgule.
\(10^n \times 10^m = 10^{n+m}\) |
\(\dfrac{10^n}{10^m} = 10^{n-m}\) |
\((10^n)^m = 10^{n \times m}\)
🎯 Exemples résolus
Calculer \(10^3 \times 10^8\)
\(10^3 \times 10^8\)
Même base (10) → on additionne les exposants
\(= 10^{3 + 8}\)
\(= 10^{11}\)
Calculer \(\dfrac{10^5}{10^8}\)
\(\dfrac{10^5}{10^8}\)
Même base (10) → on soustrait les exposants
\(= 10^{5 - 8}\)
\(= 10^{-3}\)
Calculer \(\dfrac{100^6}{10}\)
\(\dfrac{100^6}{10}\)
On convertit \(100 = 10^2\) pour avoir la même base :
\(= \dfrac{(10^2)^6}{10}\)
On applique la puissance de puissance :
\(= \dfrac{10^{2 \times 6}}{10^1} = \dfrac{10^{12}}{10^1}\)
On applique le quotient :
\(= 10^{12 - 1} = 10^{11}\)
💡 Astuces du sage
0️⃣
Compte les zéros : Pour \(10^n\) avec \(n > 0\), l'exposant indique le nombre de zéros. \(10^5 = 100\,000\) (5 zéros).
👈
Exposant négatif : Pour \(10^{-n}\), l'exposant indique le nombre de chiffres après la virgule. \(10^{-3} = 0{,}001\)
🔄
Tout ramener à 10 : Quand tu vois 100, 1000, 0,01... convertis-les en puissances de 10 avant de calculer.
❌ Erreurs fréquentes
❌ FAUX : \(10^3 \times 10^4 = 10^{12}\)
✅ VRAI : \(10^3 \times 10^4 = 10^{3+4} = 10^7\) — Pour un produit, on additionne !
❌ FAUX : \(10^{-3} = -1000\)
✅ VRAI : \(10^{-3} = \dfrac{1}{1000} = 0{,}001\) — L'exposant négatif donne un nombre petit, pas négatif !
